martes, 20 de mayo de 2008

Trabajo de Area de Momentos

INTRODUCCIÓN
El presente trabajo monográfico trata sobre las deflexiones de vigas estáticamente determinadas e indeterminadas usando el método de Área de Momentos. Se determinará la diferencia de éste con el resto de métodos para determinar las deflexiones en vigas. Encontraremos algunas generalidades como son los objetivos, las limitaciones, y un glosario de términos usados en el presente trabajo. Conoceremos los dos Teoremas de este método, denominadas Teoremas de Greene, sustentando la aplicación de estos en la resolución de ejercicios. Este procedimiento especializado es particularmente conveniente en la solución si se requiere sólo la deflexión de unos pocos puntos sobre un a viga. Por esta razón puede usarse convenientemente en la solución de problemas estáticamente indeterminados y para revisión de deflexiones. Estos se podrán resolver por el procedimiento de la superposición de cargas y por la gráfica de los diagramas de momentos por partes. Al final se contrastará este método teórico con algunos casos reales que encontramos en nuestra localidad.
  1. GENERALIDADES.-

1.1. Objetivos:

- Determinar las deflexiones en vigas por el método del Área de Momentos.

- Aplicar los Teoremas del Método de Área de Momentos en ejercicios aplicativos.

- Resolver problemas sobre deflexiones en vigas estáticamente indeterminadas.

1.2. Limitaciones:

- Coincidencia de Términos en bibliografías.

1.3. Glosario de Términos:

M: momento flector

EI: rigidez ala flexión

M: diagrama de momento reducido EI

θA/B : es la pendiente de dos puntos de la viga

tB/A: desviación tangencial de B con respecto a una tangente trazado desde A.

x: distancia del centroide del área al eje vertical

MARCO TEÓRICO

METODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el Método del Área de Momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas en la elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando. El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como intersección de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones, se representa en la figura 1-b, aun que sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el representado en la figura 1-c. Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra. Se puede ver con más detalle en la parte CD ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a lo largo de la elástica entre las dos secciones es igual ρ dθ, siendo ρ el radio de curvatura de la elástica en ese punto. Se tiene la ecuación:

  1. Y como ds = ρ dθ, ahora escribimos:
  2. O bien ------------(a)

    Figura 1. Teoremas del área de momentos

    En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene:

------------- (b)

    Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeños ángulos:

    ---------- (c)

    Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y ángulo dθ:

    dt = x dθ

    de donde

    Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b)

    ---------- (d)

    La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviaciones son distintas.

    Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A

    El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el área del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se puede escribir en la forma:

    ----------------(1)

    Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:

    Teorema I: La desviación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos. La figura 1-c muestra como la expresión x(M dx) que aparece dentro de la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B. Por lo tanto, el significado geométrico de la integral es el momento con respecto a la ordenada en B del área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la expresión algebraica del Teorema II es:

    ------------------- (2)

    Este teorema se enuncia así:

    Teorema II: La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B del área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B. El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácitamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común. Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo integral, y que hay que conocerla en función de x. Tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta manera un diagrama de al que se aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M. En los dos teoremas, (área)AB representa el área del diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, es el brazo de momentos de esta área con respecto a B. Cuando el área del diagrama de momentos se compone de varias partes, positivas y negativas, la expresión (área)AB*x representa el momento del área de todas estas partes. El momento del área se toma siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviación se quiere obtener, por lo que conviene ponerle a x el subíndice correspondiente, por ejemplo B, lo que indica que el brazo de momentos se toma hasta este punto. Obsérvese que este subíndice B es el mismo del numerados del subíndice de t, B/A.

    Los convenios de signos siguientes son de gran importancia:

    La desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda por debajo de dicha tangente. En la figura 3 se representan las desviaciones positivas y negativas. Recíprocamente, una desviación positiva indica que el punto queda por encima de la tangente de referencia.

    Figura 3. Signo de las desviaciones tangenciales. (a) Positiva; B queda situado sobre la tangente de referencia. (b) Negativa; B queda situado por debajo de la tangente de referencia.

    El otro convencionalismo de signos es el que se refiere a las pendientes y se indica en la figura 4. Un valor positivo de la variación de pendiente θAB indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada en el punto más a la izquierda, A; es decir, que para pasar a la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores negativos de θA/B.

    Figura 4. Signo de la variación de pendiente o desviación angular. (a) Positiva; θAB en sentido contrario al del reloj respecto de la tangente de la izquierda. (b) Negativa; θAB en sentido del reloj respecto de la tangente de la izquierda.

    VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS.-

    Las reacciones desconocidas de vigas estáticamente indeterminadas pueden hallarse fácilmente usando el método de área-momento empleando la superposición. Después de determinadas las reacciones redundantes, las deflexiones y giros de la viga pueden encontrarse de la manera usual, nuevamente usando la superposición. En esta sección se consideran dos procedimientos diferentes para encontrar las reacciones redundantes. En el procedimiento que más se usa, se reconoce que las vigas restringidas y las vigas continuas difieren de las simplemente apoyadas principalmente por la presencia de momentos redundantes en los soportes. Por tanto, los diagramas de momento flexionante para esas vigas pueden considerarse formados de dos partes independientes, una parte para el momento causado por todas las cargas aplicadas sobre una viga supuesta como simplemente apoyada y la otra parte para los momentos redundantes en los extremos. Luego, el efecto de los momentos redundantes en el extremo se superpone sobre una viga supuesta como simplemente apoyada. Físicamente, esta noción puede aclararse imaginando una viga indeterminada cortada en los soportes mientras se mantienen las reacciones verticales. La continuidad de la curva elástica de la viga se preserva por los momentos redundantes. Aunque las ordenadas críticas de los diagramas de momento flexionante causados por los momentos redundantes no son conocidas, sus formas sí se conocen. La aplicación de un momento redundante en un extremo de una viga simple da un diagrama de momento triangular, con un máximo en la posición del momento aplicado y una ordenada cero en el otro extremo. Igualmente, cuando están presentes momentos en ambos extremos de una viga simple, dos diagramas de momentos triangulares se superponen en un diagrama de forma trapezoidal. Las partes conocida y desconocida juntas del diagrama de momento flexionante dan un diagrama completo de momento flexionante. Este diagrama puede entonces usarse para aplicar los teoremas de área-momento a la curva elástica continua de una viga. Las condiciones geométricas de un problema, como la continuidad de la curva elástica en el soporte o las tangentes en extremos empotrados que no pueden girar, permiten una rápida formulación de ecuaciones para los valores desconocidos de los momentos redundantes en los soportes. Un método alternativo para determinar las reacciones redundantes emplea un procedimiento basado en granear los diagramas de momento por partes. Al aplicar este método, sólo uno de los soportes empotrados se deja en su lugar, formándose así una viga en voladizo. Se dibujan entonces diagramas por separado de momento flexionante para cada una de las fuerzas aplicadas, así como para las reacciones desconocidas en el extremo no soportado de la viga. La suma de todos esos diagramas de momento flexionante para el voladizo forman el diagrama completo de momento flexionante que se usa entonces en la manera regular. En cualquier método, para vigas de rigidez variable, los diagramas de momento deben dividirse entre las correspondientes EI.